Das Problem mit der Ziege

oder Monty Hall Problem: Ein erstaunliches mathematisches Phänomen

Ziegendilemma © romurundi - Fotolia.com

Das Ziegenproblem – oder auch „Monty Hall Dilemma“ ist ein sehr faszinierendes Phänomen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es wurde zuerst öffentlich im Jahr 1990 diskutiert und wurde nach einer bekannten Game-Show namens „Let´s make a Deal“ benannt, deren Moderator Monty Hall hieß und bei der sich als Niete eine Ziege hinter einem oder mehreren Toren verbarg. In Deutschland gab es in den Neunzigern eine entsprechende Show namens Geh aufs Ganze, moderiert von Jörg Dräger. In der deutschen Adaption war die Ziege allerdings der „Zonk“. Der Zuschauer konnte sich aber auch hier zwischen drei Toren entscheiden. Hinter einem der Tore verbarg sich ein recht wertvoller Preis (z.B. ein Auto), hinter einem zweiten Tor ein etwas weniger wertvoller Preis (z.B. die Waschmaschine) und hinter dem letzten Tor dann stets eine Niete – also der Zonk oder die Ziege.

Das Ziegenproblem stellt nun die Frage, ob sich die Gewinnchancen des Spielers auf den Hauptpreis für den Fall erhöhen, dass er – nachdem bereits ein Tor mit einer Niete oder einem niedrigen Preis geöffnet wurde -er nochmals von seinem bisher gewählten Tor auf das andere wechselt.

Three Coloured Doors - Red, Yellow, Green

Konkret also: Zu Beginn des Spiels hat sich der Spieler zum Beispiel für Tor 2 (gelb) entschieden. Der Moderator öffnet nun zunächst Tor 1 (rot) und zeigt dem Spieler, dass sich dahinter die Ziege (Niete) verborgen ist. Er bietet dem Spieler nun nochmals an zu wechseln? Von seiner ursprünglichen Wahl (Tor 2) zum anderen Tor (Tor 1).

Frage: Erhöht sich durch einen Wechsel die Wahrscheinlichkeit, dass er den Hauptgewinn erhält?

 

Three Coloured Doors - Open Red

Die Antwort ist erstaunlich – und mag auch den ersten Blick auch nur den wenigsten einleuchten: JA! Obwohl es zunächst gleichgültig erscheint, ob der Spieler bei seiner Entscheidung bleibt oder auf das andere Tor wechselt, da es sich offenbar nur um eine 50:50 Chance handelt, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler den Hauptpreis gewinnt bei einem Wechsel von Tor 2 zu Tor 3 um 1/3  und liegt demnach bei 2/3.

Dieses Problem zeigt sehr anschaulich, wie schwer es den meisten Menschen fällt mit der Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten umzugehen. Mit dieser Fehleinschätzung befindet man sich aber in bester Gesellschaft: Auch mehrere Nobelpreisträger haben – als sie mit dieser Frage konfrontiert wurden spontan die falsche Antwort gegeben.

Der mathematische Hintergrund ist in der Tat auch nicht ganz banal – in diesem Video wird er aber recht anschaulich und überzeugend erklärt – und zwar auch noch musikalisch:

Zu meinen Vortrags-Programmen: Das große (Ent-)Täuschungsmanöver, 42:Das Algorithmus-Abracadabra

Das Ziegenproblem auf wikipedia.de